Lo sviluppo di un’epidemia è un processo complesso:  In questo blog vogliamo illustrare il legame che c’è tra il numero di positivi giornalieri e il valore dell’indice R_t.

Semplificando, possiamo dire che lo sviluppo dell’epidemia dipende essenzialmente da due fattori.

• il numero medio di persone contagiate da un soggetto positivo, quantità descritta dall’indice chiamato R_t ;
• il numero di giorni nei quali una persona rimane positiva e può contagiare; per il COVID questo numero è molto difficile da determinare, ma si ritiene che una stima media attendibile sia di circa 6.5 giorni.

Ovviamente più grandi sono i valori di R_t e del tempo in cui un soggetto rimane positivo e più la pandemia si sviluppa velocemente. Sul tempo in cui una persona rimane positiva non possiamo agire, mentre possiamo cercare di ostacolare il contagio (mascherine, distanziamento, chiusure varie, …) riducendo, di conseguenza, il valore di R_t.

È importante notare che il valore di R_t, viene misurato ogni giorno e dipende essenzialmente dalle misure messe in campo per mitigare gli effetti del contagio. Esiste quindi una relazione tra il numero di positivi contagiati (funzione delle misure di contenimento come i lock-down) e il valore numerico di R_t.

Per valutare come aumenta il numero di positivi iniziamo con un esempio semplice, una sola persona e un valore costante di R_t =2 (figura a lato): il primo positivo, in un periodo medio di 6.5 giorni (durata temporale che chiamiamo ciclo 1), contagia 2 persone e poi guarisce, uscendo dal numero di possibili contagiatori. A questo punto le 2 persone diventate positive nel ciclo 1, contagiano, a loro volta, ognuna altre 2 persone nel ciclo 2. Questi 4 contagiati a loro volta, contagiano altre 2  persone ciascuna, arrivando a 8 positivi (ciclo 3) e poi guariscono. Continuando la catena si vede che la sequenza del numero di contagiati è 1, 2, 4, 8,1 6, … che in matematica si può riassumere in una formula 2ⁿ, dove 2 è il valore che abbiamo scelto per R_t e “n” è il numero di cicli in cui il processo si ripete. Se avessimo un valore di R_t =3 ovviamente il numero dei contagiati aumenterebbe molto più velocemente con la serie 1, 3, 9, 27, 81… e sarebbe descritto dalla formula 3ⁿ. Questa è la crescita esponenziale dove il valore ad ogni ciclo è ottenuto moltiplicando il valore del precedente ciclo per R_t: ad es. prendiamo R_t = 2, il valore del ciclo 3 è uguale a quello dello ciclo 2 (=4) moltiplicato per 2 (=8).

Dopo circa 1 mese (5 cicli), a seconda del valore scelto di R_t il numero di positivi giornalieri aumenta come in figura (nelle condizioni reali R_t non viene scelto ma misurato ovviamente):

• R_t = 2 (grafico scuro) il numero dei positivi aumenta molto velocemente arrivando ad oltre 30 positivi.
• R_t = 1.6 e R_t = 1.3 (grafico rosso e arancione): il numero dei contagiati aumenta, ma la crescita è molto più lenta arrivando rispettivamente attorno a 10 e 4 positivi.
• R_t = 1 (grafico giallo): il numero dei contagiati rimane costante a 1, perché ad ogni ciclo la persona positiva contagia 1 persona e poi guarisce;
• R_t < 1 (non presente in figura) il numero di contagiati diminuisce andando a zero.

È importante notare che se R_t > 1, il numero dei positivi giornalieri aumenta sempre, per farlo diminuire è necessario che sia R_t < 1. La situazione appena mostrata non è realistica in quanto parte da un solo soggetto positivo e il valore di R_t è mantenuto costante; una situazione più vicina alla nostra realtà è quella di un numero iniziale arbitrario di positivi e di un valore di R_t che nel tempo cali per le misure restrittive adottate. L’ultima figura parte da un giorno qualsiasi riportato sull’asse X; le barre verticali indicano il valore di R_t nei diversi giorni (mostrato solo per alcuni di essi per non appesantire la figura) che è stato scelto ad un valore iniziale R_t = 2 e decrementato fino a zero. La curva blu mostra il numero dei positivi giornalieri che si hanno come conseguenza di quei valori di R_t e del numero di positivi iniziale non indicato perché ininfluente ai fini del discorso. L’andamento del numero dei positivi giornalieri può essere descritto in 3 differenti zone indicate dai 3 diversi colori (viola, blu e verde) sotto l’asse X:

• Zona viola in cui R_t > 1: in questa parte di curva il numero dei positivi giornalieri aumenta sempre, ad un occhio attento si nota che la velocità di crescita è maggiore per i valori più alti di R_t rispetto a quelli più bassi;
• Zona blu in cui R_t = 1: il numero dei positivi giornalieri raggiunge il massimo e rimane costante;
• Zona verde in cui R_t < 1: il numero dei positivi giornalieri scende fino a determinare la fine della pandemia. La pandemia sarebbe finita anche se il valore di R_t non fosse andato a zero ma si fosse mantenuto ad un qualsiasi valore <1: se ad esempio R_t fosse rimasto costante ad un valore = 0.9, il numero dei positivi giornalieri sarebbe comunque andato a zero, ma in un tempo molto più lungo.

Questo spiega una cosa molto importante: nel momento in cui, a causa di qualche misura restrittiva, il valore di R_t scende, non è detto che i contagi debbano scendere: se ad es. R_t passa da 1.5 a 1.2, il numero dei positivi giornalieri continua a salire, ma con una velocità più bassa. I contagi scendono solo quando riusciamo ad avere un R_t < 1.