Rt: un mistero svelato

Lo sviluppo di un’epidemia è un processo complesso:  In questo blog vogliamo illustrare il legame che c’è tra il numero di positivi giornalieri e il valore dell’indice Rt.

Semplificando, possiamo dire che lo sviluppo dell’epidemia dipende essenzialmente da due fattori.

  • il numero medio di persone contagiate da un soggetto positivo, quantità descritta dall’indice chiamato Rt ;
  • il numero di giorni nei quali una persona rimane positiva e può contagiare; per il COVID questo numero è molto difficile da determinare, ma si ritiene che una stima media attendibile sia di circa 6.5 giorni.

Ovviamente più grandi sono i valori di Rt e del tempo in cui un soggetto rimane positivo e più la pandemia si sviluppa velocemente. Sul tempo in cui una persona rimane positiva non possiamo agire, mentre possiamo cercare di ostacolare il contagio (mascherine, distanziamento, chiusure varie, …) riducendo, di conseguenza, il valore di Rt.

È importante notare che il valore di Rt, viene misurato ogni giorno e dipende essenzialmente dalle misure messe in campo per mitigare gli effetti del contagio. Esiste quindi una relazione tra il numero di positivi contagiati (funzione delle misure di contenimento come i lock-down) e il valore numerico di Rt.

Per valutare come aumenta il numero di positivi iniziamo con un esempio semplice, una sola persona e un valore costante di Rt =2 (figura a lato): il primo positivo, in un periodo medio di 6.5 giorni (durata temporale che chiamiamo ciclo 1), contagia 2 persone e poi guarisce, uscendo dal numero di possibili contagiatori. A questo punto le 2 persone diventate positive nel ciclo 1, contagiano, a loro volta, ognuna altre 2 persone nel ciclo 2. Questi 4 contagiati a loro volta, contagiano altre 2  persone ciascuna, arrivando a 8 positivi (ciclo 3) e poi guariscono. Continuando la catena si vede che la sequenza del numero di contagiati è 1, 2, 4, 8,1 6, … che in matematica si può riassumere in una formula 2n, dove 2 è il valore che abbiamo scelto per Rt e “n” è il numero di cicli in cui il processo si ripete. Se avessimo un valore di Rt =3 ovviamente il numero dei contagiati aumenterebbe molto più velocemente con la serie 1, 3, 9, 27, 81… e sarebbe descritto dalla formula 3n. Questa è la crescita esponenziale dove il valore ad ogni ciclo è ottenuto moltiplicando il valore del precedente ciclo per Rt: ad es. prendiamo Rt = 2, il valore del ciclo 3 è uguale a quello dello ciclo 2 (=4) moltiplicato per 2 (=8).

Dopo circa 1 mese (5 cicli), a seconda del valore scelto di Rt il numero di positivi giornalieri aumenta come in figura (nelle condizioni reali Rt non viene scelto ma misurato ovviamente):

  • Rt = 2 (grafico scuro) il numero dei positivi aumenta molto velocemente arrivando ad oltre 30 positivi.
  • Rt = 1.6 e Rt = 1.3 (grafico rosso e arancione): il numero dei contagiati aumenta, ma la crescita è molto più lenta arrivando rispettivamente attorno a 10 e 4 positivi.
  • Rt = 1 (grafico giallo): il numero dei contagiati rimane costante a 1, perché ad ogni ciclo la persona positiva contagia 1 persona e poi guarisce;
  • Rt < 1 (non presente in figura) il numero di contagiati diminuisce andando a zero.

È importante notare che se Rt > 1, il numero dei positivi giornalieri aumenta sempre, per farlo diminuire è necessario che sia Rt < 1. La situazione appena mostrata non è realistica in quanto parte da un solo soggetto positivo e il valore di Rt è mantenuto costante; una situazione più vicina alla nostra realtà è quella di un numero iniziale arbitrario di positivi e di un valore di Rt che nel tempo cali per le misure restrittive adottate. L’ultima figura parte da un giorno qualsiasi riportato sull’asse X; le barre verticali indicano il valore di Rt nei diversi giorni (mostrato solo per alcuni di essi per non appesantire la figura) che è stato scelto ad un valore iniziale Rt = 2 e decrementato fino a zero. La curva blu mostra il numero dei positivi giornalieri che si hanno come conseguenza di quei valori di Rt e del numero di positivi iniziale non indicato perché ininfluente ai fini del discorso. L’andamento del numero dei positivi giornalieri può essere descritto in 3 differenti zone indicate dai 3 diversi colori (viola, blu e verde) sotto l’asse X:

  • Zona viola in cui Rt > 1: in questa parte di curva il numero dei positivi giornalieri aumenta sempre, ad un occhio attento si nota che la velocità di crescita è maggiore per i valori più alti di Rt rispetto a quelli più bassi;
  • Zona blu in cui Rt = 1: il numero dei positivi giornalieri raggiunge il massimo e rimane costante;
  • Zona verde in cui Rt < 1: il numero dei positivi giornalieri scende fino a determinare la fine della pandemia. La pandemia sarebbe finita anche se il valore di Rt non fosse andato a zero ma si fosse mantenuto ad un qualsiasi valore <1: se ad esempio Rt fosse rimasto costante ad un valore = 0.9, il numero dei positivi giornalieri sarebbe comunque andato a zero, ma in un tempo molto più lungo.

Questo spiega una cosa molto importante: nel momento in cui, a causa di qualche misura restrittiva, il valore di Rt scende, non è detto che i contagi debbano scendere: se ad es. Rt passa da 1.5 a 1.2, il numero dei positivi giornalieri continua a salire, ma con una velocità più bassa. I contagi scendono solo quando riusciamo ad avere un Rt < 1.

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